Algèbre Exemples

$\log_{2} (6 x) - \log_{2} (\sqrt{x}) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{6 x}{\sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{6 x}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{6 x}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.3.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.3.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}) = 2$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Étape 1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = 2$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = 2$

Étape 1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) = 2$

Étape 1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}) = 2$

Étape 1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x}) = 2$

Étape 1.3.6.5

Simplifiez

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x}) = 2$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{6 x \sqrt{x}}{x}) = 2$

Étape 1.4.2

Divisez $6 \sqrt{x}$ par $1$ .

$\log_{2} (6 \sqrt{x}) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (6 \sqrt{x}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{2} = 6 \sqrt{x}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $6 \sqrt{x} = 2^{2}$ .

$6 \sqrt{x} = 2^{2}$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(6 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 x^{1} = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Simplifiez

$36 x = {(2^{2})}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez ${(2^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x = 2^{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$36 x = 2^{4}$

Étape 3.3.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$36 x = 16$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $36 x = 16$ par $36$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $36 x = 16$ par $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{16}{36}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 x}{36} = \frac{16}{36}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{36}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $36$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$x = \frac{4 (4)}{36}$

Étape 3.4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$x = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 9}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 9}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{9}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{4}{9}$

Forme décimale :

$x = 0.\overline{4}$