Algèbre Exemples

$\frac{(1 + 2 \sqrt{- 3})}{(1 + \sqrt{- 3})}$

Étape 1

Extrayez l’unité imaginaire $i$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{1 + 2 \sqrt{- 1 (3)}}{1 + \sqrt{- 3}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 2 (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Étape 1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Étape 1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1 (3)}}$

Étape 1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}$

Étape 1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + 1.7320508 \cdot i}$ par le conjugué de $1 + 1.7320508 \cdot i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + 1.7320508 \cdot i} \cdot \frac{1 - 1.7320508 i}{1 - 1.7320508 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{(1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})) (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.2

Développez $(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - 1.7320508 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} (1 - 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $- 1.7320508 i$ par $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $2 i \sqrt{3} (- 1.7320508 i)$ .

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Étape 3.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1.7320508$ par $2$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 3.46410161 i \sqrt{3} i}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $- 3.46410161$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 i i}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 (i^{1} i)}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 i^{1 + 1}}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 i^{2}}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} - 6 \cdot - 1}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3} + 6}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(1 + 1.7320508 \cdot i) (1 - 1.7320508 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 (1 - 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i (1 - 1.7320508 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i \cdot 1 + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 1 (- 1.7320508 i) + 1.7320508 \cdot i \cdot 1 + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1.7320508$ par $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i \cdot 1 + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $1.7320508$ par $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i + 1.7320508 \cdot i (- 1.7320508 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1.7320508$ par $1.7320508$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 - 1.7320508 i + 1.7320508 \cdot i - 3 \cdot i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Additionnez $- 1.7320508 i$ et $1.7320508 \cdot i$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 i - 3 \cdot i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 - 3 \cdot i^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 - 3 \cdot - 1}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 0 + 3}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1 + 3}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 4

Réécrivez $7$ comme $1 (7)$ .

$\frac{1 (7) - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 5

Factorisez $1$ à partir de $- 1.7320508 i$ .

$\frac{1 (7) + 1 (- 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 6

Factorisez $1$ à partir de $1 (7) + 1 (- 1.7320508 i)$ .

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i) + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Étape 7

Factorisez $1$ à partir de $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i) + 1 (2 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 8

Factorisez $1$ à partir de $1 (7 - 1.7320508 i) + 1 (2 i \sqrt{3})$ .

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3})}{4}$

Étape 9

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1 (7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3})}{4 (1)}$

Étape 10

Séparez les fractions.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Divisez $1$ par $4$ .

$0.25 \frac{7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}}{1}$

Étape 11.2

Divisez $7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3}$ par $1$ .

$0.25 (7 - 1.7320508 i + 2 i \sqrt{3})$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$0.25 \cdot 7 + 0.25 (- 1.7320508 i) + 0.25 (2 i \sqrt{3})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Multipliez $0.25$ par $7$ .

$1.75 + 0.25 (- 1.7320508 i) + 0.25 (2 i \sqrt{3})$

Étape 13.2

Multipliez $- 1.7320508$ par $0.25$ .

$1.75 - 0.4330127 i + 0.25 (2 i \sqrt{3})$

Étape 13.3

Multipliez $0.25 (2 i \sqrt{3})$ .

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Étape 13.3.1

Multipliez $2$ par $0.25$ .

$1.75 - 0.4330127 i + 0.5 (i \sqrt{3})$

Étape 13.3.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $0.5$ .

$1.75 - 0.4330127 i + 0.8660254 i$

Étape 14

Additionnez $- 0.4330127 i$ et $0.8660254 i$ .

$1.75 + 0.4330127 i$