Algèbre Exemples

$x = {(y - 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez

${(y - 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez

${(y - 2)}^{2}$ comme

$(y - 2) (y - 2)$ .

$x = (y - 2) (y - 2)$

Étape 1.2

Développez

$(y - 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez

$y$ par

$y$ .

$x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.2

Déplacez

$- 2$ à gauche de

$y$ .

$x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$- 2$ .

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Étape 1.3.2

Soustrayez

$2 y$ de

$- 2 y$ .

$x = y^{2} - 4 y + 4$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour

$y^{2} - 4 y + 4$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$b$ et

$c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 4$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de

$d$ en utilisant la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ dans la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2

Annulez le facteur commun à

$- 4$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.3.2.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 2.1.1.3.2.2.4

Divisez

$- 2$ par

$1$ .

$d = - 2$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de

$e$ en utilisant la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de

$c$ ,

$b$ et

$a$ dans la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à

${(- 4)}^{2}$ et

$4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.1

Réécrivez

$- 4$ comme

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.3

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$e = 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.4

Multipliez

$4^{2}$ par

$1$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.5

Factorisez

$4$ à partir de

$4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.4

Divisez

$4$ par

$1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$e = 4 - 4$

Étape 2.1.1.4.2.2

Soustrayez

$4$ de

$4$ .

$e = 0$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de

$a$ ,

$d$ et

$e$ dans la forme du sommet

${(y - 2)}^{2} + 0$ .

${(y - 2)}^{2} + 0$

Étape 2.1.2

Définissez

$x$ égal au nouveau côté droit.

$x = {(y - 2)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet,

$x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$h$ et

$k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 2$

Étape 2.3

Comme la valeur de

$a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 2.4

Déterminez le sommet

$(h, k)$ .

$(0, 2)$

Étape 2.5

Déterminez

$p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de

$a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de

$1$ .

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

$p$ à la coordonnée x

$h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{4}, 2)$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 2$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant

$p$ de la coordonnée x

$h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de

$p$ et

$h$ dans la formule et simplifiez.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet :

$(0, 2)$

Foyer :

$(\frac{1}{4}, 2)$

Axe de symétrie :

$y = 2$

Directrice :

$x = - \frac{1}{4}$

Direction : ouvre vers la droite

Sommet :

$(0, 2)$

Foyer :

$(\frac{1}{4}, 2)$

Axe de symétrie :

$y = 2$

Directrice :

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs

$x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs

$y$ correspondantes. Les valeurs

$x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur

$x$

$1$ dans

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . Dans ce cas, le point est

$(1, 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Étape 3.1.2.2

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Étape 3.1.2.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$f (1) = 3$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est

$3$ .

$y = 3$

Étape 3.1.3

Convertissez

$3$ en décimale.

$= 3$

Étape 3.2

Remplacez la valeur

$x$

$1$ dans

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . Dans ce cas, le point est

$(1, 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.2.1

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 2$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Étape 3.2.2.3

Additionnez

$- 1$ et

$2$ .

$f (1) = 1$

Étape 3.2.2.4

La réponse finale est

$1$ .

$y = 1$

Étape 3.2.3

Convertissez

$1$ en décimale.

$= 1$

Étape 3.3

Remplacez la valeur

$x$

$2$ dans

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . Dans ce cas, le point est

$(2, 3.41421356)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable

$x$ par

$2$ dans l’expression.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est

$\sqrt{2} + 2$ .

$y = \sqrt{2} + 2$

Étape 3.3.3

Convertissez

$\sqrt{2} + 2$ en décimale.

$= 3.41421356$

Étape 3.4

Remplacez la valeur

$x$

$2$ dans

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . Dans ce cas, le point est

$(2, 0.58578643)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez la variable

$x$ par

$2$ dans l’expression.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Étape 3.4.2.2

La réponse finale est

$- \sqrt{2} + 2$ .

$y = - \sqrt{2} + 2$

Étape 3.4.3

Convertissez

$- \sqrt{2} + 2$ en décimale.

$= 0.58578643$

Étape 3.5

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet :

$(0, 2)$

Foyer :

$(\frac{1}{4}, 2)$

Axe de symétrie :

$y = 2$

Directrice :

$x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Étape 5