Algèbre Exemples

y = 2 \cos (3 x)

$y = 2 \cos (3 x)$

Étape 1

Utilisez la forme

a \cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

a = 2

$a = 2$

b = 3

$b = 3$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude

| a |

$| a |$ .

Amplitude :

2

$2$

Étape 3

Déterminez la période de

2 \cos (3 x)

$2 \cos (3 x)$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez

b

$b$ par

3

$3$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

3

$3$ est

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Déphasage :

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de

c

$c$ et

b

$b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage :

\frac{0}{3}

$\frac{0}{3}$

Étape 4.3

Divisez

0

$0$ par

3

$3$ .

Déphasage :

0

$0$

Déphasage :

0

$0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude :

2

$2$

Période :

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur

x = 0

$x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

0

$0$ dans l’expression.

f (0) = 2 \cos (3 (0))

$f (0) = 2 \cos (3 (0))$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Multipliez

3

$3$ par

0

$0$ .

f (0) = 2 \cos (0)

$f (0) = 2 \cos (0)$

Étape 6.1.2.2

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

f (0) = 2 \cdot 1

$f (0) = 2 \cdot 1$

Étape 6.1.2.3

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

f (0) = 2

$f (0) = 2$

Étape 6.1.2.4

La réponse finale est

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Étape 6.2

Déterminez le point sur

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ dans l’expression.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{6}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{6}))$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

6

$6$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Étape 6.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.2

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ est

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0$

Étape 6.2.2.3

Multipliez

2

$2$ par

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 0

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Étape 6.2.2.4

La réponse finale est

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ dans l’expression.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)$

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)$

Étape 6.3.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

f (\frac{π}{3}) = 2 (- \cos (0))

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

Étape 6.3.2.3

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.2.4

Multipliez

2 (- 1 \cdot 1)

$2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.4.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Étape 6.3.2.4.2

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

f (\frac{π}{3}) = - 2

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

f (\frac{π}{3}) = - 2

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Étape 6.3.2.5

La réponse finale est

- 2

$- 2$ .

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

Étape 6.4

Déterminez le point sur

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ dans l’expression.

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{2}))

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{2}))$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Associez

3

$3$ et

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.3

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ est

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Étape 6.4.2.4

Multipliez

2

$2$ par

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 0

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Étape 6.4.2.5

La réponse finale est

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Étape 6.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez des rotations complètes de

2 π

$2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à

0

$0$ et inférieur à

2 π

$2 π$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (0)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (0)$

Étape 6.5.2.3

La valeur exacte de

\cos (0)

$\cos (0)$ est

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 1

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 1$

Étape 6.5.2.4

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2

$f (\frac{2 π}{3}) = 2$

Étape 6.5.2.5

La réponse finale est

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude :

2

$2$

Période :

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

Étape 8