Algèbre Exemples

$y = - x^{2} + 6 x - 4$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- x^{2} + 6 x - 4$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = - 4$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Étape 1.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = - 3$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$e = - 4 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 4 - \frac{36}{- 4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $36$ par $- 4$ .

$e = - 4 - - 9$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = - 4 + 9$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $- 4$ et $9$ .

$e = 5$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 5$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x - 3)}^{2} + 5$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 5$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(3, 5)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3, \frac{19}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 3$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{21}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 5)$

Foyer : $(3, \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{21}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 5)$

Foyer : $(3, \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{21}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6 (2) - 4$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6 (2) - 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = - 4 + 6 (2) - 4$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$f (2) = - 4 + 12 - 4$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $12$ .

$f (2) = 8 - 4$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$f (2) = 4$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $4$ .

$y = 4$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6 (1) - 4$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 (1) - 4$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 (1) - 4$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $- 1$ et $6$ .

$f (1) = 5 - 4$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (1) = 1$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 6 (4) - 4$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 6 (4) - 4$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (4) = - 16 + 6 (4) - 4$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$f (4) = - 16 + 24 - 4$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$f (4) = 8 - 4$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$f (4) = 4$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $4$ .

$y = 4$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 6 (5) - 4$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 6 (5) - 4$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (5) = - 25 + 6 (5) - 4$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $6$ par $5$ .

$f (5) = - 25 + 30 - 4$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Additionnez $- 25$ et $30$ .

$f (5) = 5 - 4$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f (5) = 1$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 5$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 1 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(3, 5)$

Foyer : $(3, \frac{19}{4})$

Axe de symétrie : $x = 3$

Directrice : $y = \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 1 \end{array}$

Étape 4