Algèbre Exemples

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

1

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable

h

$h$ représente le décalage x par rapport à l’origine,

k

$k$ représente le décalage y par rapport à l’origine,

a

$a$ .

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de

(h, k)

$(h, k)$ . Remplacez les valeurs de

h

$h$ et

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez

c

$c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{4 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\sqrt{4 + 1}

$\sqrt{4 + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez

4

$4$ et

1

$1$ .

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant

a

$a$ à

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

a

$a$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(2, 0)

$(2, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant

a

$a$ à

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

a

$a$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant

c

$c$ à

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

c

$c$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(\sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant

c

$c$ à

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

c

$c$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(- \sqrt{5}, 0)

$(- \sqrt{5}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

Étape 8.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

Étape 8.3.3

Additionnez

4

$4$ et

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de

b

$b$ et

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Multipliez

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ par

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ par

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez

$\sqrt{5}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez

$\sqrt{5}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{2} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez

$\frac{1}{2} x$ et

$0$ .

$y = \frac{1}{2} x$

Étape 11.2

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$x$ .

$y = \frac{x}{2}$

Étape 12

Simplifiez

$- \frac{1}{2} x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez

$- \frac{1}{2} x$ et

$0$ .

$y = - \frac{1}{2} x$

Étape 12.2

Associez

$x$ et

$\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre :

$(0, 0)$

Sommets :

$(2, 0), (- 2, 0)$

Foyers :

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Excentricité :

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paramètre focal :

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Asymptotes :

$y = \frac{x}{2}$ ,

$y = - \frac{x}{2}$

Étape 15