Algèbre Exemples

${(1 - x^{2})}^{2}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(1)}^{2 - k} \cdot {(- x^{2})}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{2 - 0} \cdot {(- x^{2})}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{2 - 1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{2 - 2} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x^{2})}^{0} + 2 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$1^{1} \cdot {(1)}^{2} \cdot {(- x^{2})}^{0} + 2 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1^{1 + 2} \cdot {(- x^{2})}^{0} + 2 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$1^{3} \cdot {(- x^{2})}^{0} + 2 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez $1^{3} \cdot {(- x^{2})}^{0}$ .

$1^{3} + 2 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 2 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$1 + 2 \cdot 1 \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 \cdot {(- x^{2})}^{1} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.6

Simplifiez

$1 + 2 \cdot (- x^{2}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 - 2 x^{2} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.8

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.1

Multipliez $1$ par ${(1)}^{0}$ .

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Étape 4.8.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$1 - 2 x^{2} + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 2 x^{2} + 1^{1 + 0} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.8.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - 2 x^{2} + 1^{1} \cdot {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.9

Simplifiez $1^{1} \cdot {(- x^{2})}^{2}$ .

$1 - 2 x^{2} + {(- x^{2})}^{2}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $- x^{2}$ .

$1 - 2 x^{2} + {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Étape 4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 2 x^{2} + 1 {(x^{2})}^{2}$

Étape 4.12

Multipliez ${(x^{2})}^{2}$ par $1$ .

$1 - 2 x^{2} + {(x^{2})}^{2}$

Étape 4.13

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 2 x^{2} + x^{2 \cdot 2}$

Étape 4.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 - 2 x^{2} + x^{4}$