Algèbre Exemples

$x^{3} = 512$

Étape 1

Soustrayez $512$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 512 = 0$

Étape 2

Réécrivez $512$ comme $8^{3}$ .

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Étape 4.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 7

Définissez $x^{2} + 8 x + 64$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{2} + 8 x + 64$ égal à $0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{2} + 8 x + 64 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8$ et $c = 64$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.3

Soustrayez $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Étape 7.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

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Étape 7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.3

Soustrayez $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.4

Réécrivez $- 192$ comme $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (192)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.7

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.5.1.7.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.7.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Étape 7.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ vraie.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$