Algèbre Exemples

${(x - y)}^{5}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(x - y)}^{5}$ , $n = 5$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $6$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $x$ et $b$ $- y$ dans l’expression.

$1 {(x)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{5}$ par $1$ .

${(x)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{5} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 1)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.5

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.7

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.8

Simplifiez

$x^{5} + 5 x^{4} (- y) + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} + 5 \cdot - 1 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.10

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 \cdot {(- 1)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 \cdot 1 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.14

Multipliez $10$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 \cdot {(- 1)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.17

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 \cdot - 1 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.18

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.19

Simplifiez

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.20

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x ({(- 1)}^{4} y^{4}) + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.21

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{4} x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 \cdot 1 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.23

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.24

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Étape 4.25

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 {(- y)}^{5}$

Étape 4.26

Multipliez ${(- y)}^{5}$ par $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(- y)}^{5}$

Étape 4.27

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(- 1)}^{5} y^{5}$

Étape 4.28

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} - y^{5}$