Algèbre Exemples

$y = 4 x - x^{2}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Remettez dans l’ordre

$4 x$ et

$- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Étape 1.1.2

Complétez le carré pour

$- x^{2} + 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Utilisez la forme

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$b$ et

$c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Étape 1.1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.2.3

Déterminez la valeur de

$d$ en utilisant la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ dans la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à

$4$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.2.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de

$\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.1.2.3.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$d = - 2$

Étape 1.1.2.4

Déterminez la valeur de

$e$ en utilisant la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Remplacez les valeurs de

$c$ ,

$b$ et

$a$ dans la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à

$4^{2}$ et

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.2.1.1.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.2.4.2.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de

$\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 1.1.2.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 1.1.2.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 1.1.2.4.2.2

Additionnez

$0$ et

$4$ .

$e = 4$

Étape 1.1.2.5

Remplacez les valeurs de

$a$ ,

$d$ et

$e$ dans la forme du sommet

$- {(x - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Étape 1.1.3

Définissez

$y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 4$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$h$ et

$k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 4$

Étape 1.3

Comme la valeur de

$a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet

$(h, k)$ .

$(2, 4)$

Étape 1.5

Déterminez

$p$ , la distance du sommet au foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de

$a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à

$1$ et

$- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.1

Réécrivez

$1$ comme

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

$p$ à la coordonnée y

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, \frac{15}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

$p$ de la coordonnée y

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{17}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet :

$(2, 4)$

Foyer :

$(2, \frac{15}{4})$

Axe de symétrie :

$x = 2$

Directrice :

$y = \frac{17}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet :

$(2, 4)$

Foyer :

$(2, \frac{15}{4})$

Axe de symétrie :

$x = 2$

Directrice :

$y = \frac{17}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs

$x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs

$y$ correspondantes. Les valeurs

$x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 4 (1)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 4 (1)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4 (1)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4$

Étape 2.2.2

Additionnez

$- 1$ et

$4$ .

$f (1) = 3$

Étape 2.2.3

La réponse finale est

$3$ .

$3$

Étape 2.3

La valeur

$y$ sur

$x = 1$ est

$3$ .

$y = 3$

Étape 2.4

Remplacez la variable

$x$ par

$0$ dans l’expression.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 4 (0)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$f (0) = - 0 + 4 (0)$

Étape 2.5.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Étape 2.5.1.3

Multipliez

$4$ par

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$f (0) = 0$

Étape 2.5.3

La réponse finale est

$0$ .

$0$

Étape 2.6

La valeur

$y$ sur

$x = 0$ est

$0$ .

$y = 0$

Étape 2.7

Remplacez la variable

$x$ par

$3$ dans l’expression.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 4 (3)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 4 (3)$

Étape 2.8.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$9$ .

$f (3) = - 9 + 4 (3)$

Étape 2.8.1.3

Multipliez

$4$ par

$3$ .

$f (3) = - 9 + 12$

Étape 2.8.2

Additionnez

$- 9$ et

$12$ .

$f (3) = 3$

Étape 2.8.3

La réponse finale est

$3$ .

$3$

Étape 2.9

La valeur

$y$ sur

$x = 3$ est

$3$ .

$y = 3$

Étape 2.10

Remplacez la variable

$x$ par

$4$ dans l’expression.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 4 (4)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1.1

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 4 (4)$

Étape 2.11.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$16$ .

$f (4) = - 16 + 4 (4)$

Étape 2.11.1.3

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$f (4) = - 16 + 16$

Étape 2.11.2

Additionnez

$- 16$ et

$16$ .

$f (4) = 0$

Étape 2.11.3

La réponse finale est

$0$ .

$0$

Étape 2.12

La valeur

$y$ sur

$x = 4$ est

$0$ .

$y = 0$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet :

$(2, 4)$

Foyer :

$(2, \frac{15}{4})$

Axe de symétrie :

$x = 2$

Directrice :

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Étape 4