Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2} - x - 12$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $x^{2} - x - 12$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = - 12$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 12 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - 12 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = - 12 - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e = - 12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.3

Associez $- 12$ et $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 12 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 12 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$e = \frac{- 48 - 1}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 48$ .

$e = \frac{- 49}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{49}{4}$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{49}{4}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{49}{4})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{2}, - 12)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{25}{2}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{1}{2}, - \frac{49}{4})$

Foyer : $(\frac{1}{2}, - 12)$

Axe de symétrie : $x = \frac{1}{2}$

Directrice : $y = - \frac{25}{2}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{1}{2}, - \frac{49}{4})$

Foyer : $(\frac{1}{2}, - 12)$

Axe de symétrie : $x = \frac{1}{2}$

Directrice : $y = - \frac{25}{2}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1) - 12$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 - (- 1) - 12$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 1 - 12$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 1) = 2 - 12$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$f (- 1) = - 10$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - (- 2) - 12$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 - (- 2) - 12$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 4 + 2 - 12$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$f (- 2) = 6 - 12$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $12$ de $6$ .

$f (- 2) = - 6$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1) - 12$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - (1) - 12$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 1 - 12$

Étape 2.8.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 - 12$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f (1) = - 12$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- 12$ .

$y = - 12$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{2} - (2) - 12$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 - (2) - 12$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = 4 - 2 - 12$

Étape 2.11.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.11.2.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$f (2) = - 10$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 10 \\ \frac{1}{2} & - \frac{49}{4} \\ 1 & - 12 \\ 2 & - 10 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(\frac{1}{2}, - \frac{49}{4})$

Foyer : $(\frac{1}{2}, - 12)$

Axe de symétrie : $x = \frac{1}{2}$

Directrice : $y = - \frac{25}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 10 \\ \frac{1}{2} & - \frac{49}{4} \\ 1 & - 12 \\ 2 & - 10 \end{array}$

Étape 4