Algèbre Exemples

3 \log (x) = \log (27)

$3 \log (x) = \log (27)$

Étape 1

Simplifiez

3 \log (x)

$3 \log (x)$ en déplaçant

3

$3$ dans le logarithme.

\log (x^{3}) = \log (27)

$\log (x^{3}) = \log (27)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

x^{3} = 27

$x^{3} = 27$

Étape 3

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez

27

$27$ des deux côtés de l’équation.

x^{3} - 27 = 0

$x^{3} - 27 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Réécrivez

27

$27$ comme

3^{3}

$3^{3}$ .

x^{3} - 3^{3} = 0

$x^{3} - 3^{3} = 0$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où

a = x

$a = x$ et

b = 3

$b = 3$ .

(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Déplacez

3

$3$ à gauche de

x

$x$ .

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) = 0$

Étape 3.2.3.2

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 3.4

Définissez

x - 3

$x - 3$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez

x - 3

$x - 3$ égal à

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez

3

$3$ aux deux côtés de l’équation.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Étape 3.5

Définissez

x^{2} + 3 x + 9

$x^{2} + 3 x + 9$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez

x^{2} + 3 x + 9

$x^{2} + 3 x + 9$ égal à

0

$0$ .

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez

x^{2} + 3 x + 9 = 0

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs

a = 1

$a = 1$ ,

b = 3

$b = 3$ et

c = 9

$c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour

x

$x$ .

\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez

3

$3$ à la puissance

2

$2$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot 9

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Soustrayez

36

$36$ de

9

$9$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez

- 27

$- 27$ comme

- 1 (27)

$- 1 (27)$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Réécrivez

\sqrt{- 1 (27)}

$\sqrt{- 1 (27)}$ comme

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.6

Réécrivez

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ comme

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.7

Réécrivez

27

$27$ comme

3^{2} \cdot 3

$3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.5.2.3.1.7.1

Factorisez

9

$9$ à partir de

27

$27$ .

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.7.2

Réécrivez

9

$9$ comme

3^{2}

$3^{2}$ .

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.9

Déplacez

3

$3$ à gauche de

i

$i$ .

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vraie.

x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$