Algèbre Exemples

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$

Étape 1

Écrivez

f (x) = - 2 x^{3} + 1

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ comme une équation.

y = - 2 x^{3} + 1

$y = - 2 x^{3} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

x = - 2 y^{3} + 1

$x = - 2 y^{3} + 1$

Étape 3

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$ .

- 2 y^{3} + 1 = x

$- 2 y^{3} + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ par

- 2

$- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans

- 2 y^{3} = x - 1

$- 2 y^{3} = x - 1$ par

- 2

$- 2$ .

\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de

- 2

$- 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez

$y^{3}$ par

$1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

$\sqrt[3]{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez

$\sqrt[3]{\frac{- x + 1}{2}}$ comme

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.5.3

Multipliez

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ par

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez

$\frac{\sqrt[3]{- x + 1}}{\sqrt[3]{2}}$ par

$\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez

$\sqrt[3]{2}$ à la puissance

$1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.4.4

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.5.4.5

Réécrivez

${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme

$2$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt[3]{2}$ comme

$2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.4.5.3

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez

${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme

$\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.5.5.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 1} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.5.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$

Étape 3.5.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$\frac{\sqrt[3]{(- x + 1) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

Étape 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1)$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3} + 1) + 1)}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (- (- 2 x^{3}) - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez

$- 2$ par

$- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 \cdot 1 + 1)}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} - 1 + 1)}}{2}$

Étape 5.2.3.4

Additionnez

$- 1$ et

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez

$2 x^{3}$ et

$0$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Étape 5.2.3.6

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez

$8 x^{3}$ comme

${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez

$x$ par

$1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2})}^{3} + 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez

${\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}^{3}$ comme

$4 (- x + 1)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt[3]{4 (- x + 1)}$ comme

${(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{({(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{{(4 (- x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4 \cdot 1}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.4

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 x + 4}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez

$4$ à partir de

$- 4 x + 4$ .

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Étape 5.3.3.2.5.1

Factorisez

$4$ à partir de

$- 4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.5.2

Factorisez

$4$ à partir de

$4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x) + 4 (1)}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.2.5.3

Factorisez

$4$ à partir de

$4 (- x) + 4 (1)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{2^{3}} + 1$

Étape 5.3.3.3

Élevez

$2$ à la puissance

$3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 2 \frac{4 (- x + 1)}{8} + 1$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{4 (- x + 1)}{8}) + 1$

Étape 5.3.3.4.2

Factorisez

$2$ à partir de

$8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

Étape 5.3.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{4 (- x + 1)}{2 \cdot 4}) + 1$

Étape 5.3.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- x + 1)}{4} + 1$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez

$- x + 1$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x + 1) + 1$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = - 1 (- x) - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 5.3.3.7

Multipliez

$- 1 (- x)$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = 1 x - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 \cdot 1 + 1$

Étape 5.3.3.8

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans

$x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez

$- 1$ et

$1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez

$x$ et

$0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ,

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = - 2 x^{3} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (- x + 1)}}{2}$