Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $x^{2} + 2 x - 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = - 1$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = - 1 - \frac{4}{4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = - 1 - 1$

Étape 1.1.1.4.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$e = - 2$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 1)}^{2} - 2$ .

${(x + 1)}^{2} - 2$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x + 1)}^{2} - 2$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 2$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, - 2)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, - \frac{7}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 1$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{9}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 1, - 2)$

Foyer : $(- 1, - \frac{7}{4})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = - \frac{9}{4}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 1, - 2)$

Foyer : $(- 1, - \frac{7}{4})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = - \frac{9}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 1$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 4 + 2 (- 2) - 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4 - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (- 2) = 0 - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (- 2) = - 1$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 9 + 2 (- 3) - 1$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 6 - 1$

Étape 2.5.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $6$ de $9$ .

$f (- 3) = 3 - 1$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (- 3) = 2$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 1$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 2 (1) - 1$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 2 - 1$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1) = 3 - 1$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (1) = 2$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 1, - 2)$

Foyer : $(- 1, - \frac{7}{4})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array}$

Étape 4