Algèbre Exemples

y = (x - 1) (x - 4)

$y = (x - 1) (x - 4)$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour

(x - 1) (x - 4)

$(x - 1) (x - 4)$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1.1

Développez

(x - 1) (x - 4)

$(x - 1) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

x (x - 4) - 1 (x - 4)

$x (x - 4) - 1 (x - 4)$

Étape 1.1.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)$

Étape 1.1.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Étape 1.1.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.2.1.1

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Étape 1.1.1.1.2.1.2

Déplacez

- 4

$- 4$ à gauche de

x

$x$ .

x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4

$x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4$

Étape 1.1.1.1.2.1.3

Réécrivez

- 1 x

$- 1 x$ comme

- x

$- x$ .

x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4

$x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4$

Étape 1.1.1.1.2.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 4

$- 4$ .

x^{2} - 4 x - x + 4

$x^{2} - 4 x - x + 4$

x^{2} - 4 x - x + 4

$x^{2} - 4 x - x + 4$

Étape 1.1.1.1.2.2

Soustrayez

x

$x$ de

- 4 x

$- 4 x$ .

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

Étape 1.1.1.2

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = 4

$c = 4$

Étape 1.1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.2.1

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

d = \frac{- 5}{2}

$d = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

Étape 1.1.1.5

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.1

Élevez

- 5

$- 5$ à la puissance

2

$2$ .

e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}

$e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = 4 - \frac{25}{4}

$e = 4 - \frac{25}{4}$

e = 4 - \frac{25}{4}

$e = 4 - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Pour écrire

4

$4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.3

Associez

4

$4$ et

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}

$e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.2.5.1

Multipliez

4

$4$ par

4

$4$ .

e = \frac{16 - 25}{4}

$e = \frac{16 - 25}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.5.2

Soustrayez

25

$25$ de

16

$16$ .

e = \frac{- 9}{4}

$e = \frac{- 9}{4}$

e = \frac{- 9}{4}

$e = \frac{- 9}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

Étape 1.1.1.6

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Étape 1.1.2

Définissez

y

$y$ égal au nouveau côté droit.

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

h

$h$ et

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = \frac{5}{2}

$h = \frac{5}{2}$

k = - \frac{9}{4}

$k = - \frac{9}{4}$

Étape 1.3

Comme la valeur de

a

$a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet

(h, k)

$(h, k)$ .

(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Étape 1.5

Déterminez

p

$p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de

a

$a$ dans la fonction.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de

1

$1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

$p$ à la coordonnée y

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{5}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

$p$ de la coordonnée y

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Foyer :

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Axe de symétrie :

$x = \frac{5}{2}$

Directrice :

$y = - \frac{5}{2}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Foyer :

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Axe de symétrie :

$x = \frac{5}{2}$

Directrice :

$y = - \frac{5}{2}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs

$x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs

$y$ correspondantes. Les valeurs

$x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) - 4)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Soustrayez

$1$ de

$1$ .

$f (1) = 0 ((1) - 4)$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$4$ de

$1$ .

$f (1) = 0 \cdot - 3$

Étape 2.2.3

Multipliez

$0$ par

$- 3$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.4

La réponse finale est

$0$ .

$0$

Étape 2.3

La valeur

$y$ sur

$x = 1$ est

$0$ .

$y = 0$

Étape 2.4

Remplacez la variable

$x$ par

$0$ dans l’expression.

$f (0) = ((0) - 1) ((0) - 4)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Soustrayez

$1$ de

$0$ .

$f (0) = - 1 ((0) - 4)$

Étape 2.5.2

Soustrayez

$4$ de

$0$ .

$f (0) = - 1 \cdot - 4$

Étape 2.5.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$f (0) = 4$

Étape 2.5.4

La réponse finale est

$4$ .

$4$

Étape 2.6

La valeur

$y$ sur

$x = 0$ est

$4$ .

$y = 4$

Étape 2.7

Remplacez la variable

$x$ par

$3$ dans l’expression.

$f (3) = ((3) - 1) ((3) - 4)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Soustrayez

$1$ de

$3$ .

$f (3) = 2 ((3) - 4)$

Étape 2.8.2

Soustrayez

$4$ de

$3$ .

$f (3) = 2 \cdot - 1$

Étape 2.8.3

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$f (3) = - 2$

Étape 2.8.4

La réponse finale est

$- 2$ .

$- 2$

Étape 2.9

La valeur

$y$ sur

$x = 3$ est

$- 2$ .

$y = - 2$

Étape 2.10

Remplacez la variable

$x$ par

$4$ dans l’expression.

$f (4) = ((4) - 1) ((4) - 4)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Soustrayez

$1$ de

$4$ .

$f (4) = 3 ((4) - 4)$

Étape 2.11.2

Soustrayez

$4$ de

$4$ .

$f (4) = 3 \cdot 0$

Étape 2.11.3

Multipliez

$3$ par

$0$ .

$f (4) = 0$

Étape 2.11.4

La réponse finale est

$0$ .

$0$

Étape 2.12

La valeur

$y$ sur

$x = 4$ est

$0$ .

$y = 0$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Foyer :

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Axe de symétrie :

$x = \frac{5}{2}$

Directrice :

$y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Étape 4