Algèbre Exemples

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$

Étape 1

Écrivez

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ comme une équation.

y = \ln (x)

$y = \ln (x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

x = \ln (y)

$x = \ln (y)$

Étape 3

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$ .

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$

Étape 3.2

Pour résoudre

y

$y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

e^{\ln (y)} = e^{x}

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

Étape 3.3

Réécrivez

\ln (y) = x

$\ln (y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si

x

$x$ et

b

$b$ sont des nombres réels positifs et

b \neq 1

$b \neq 1$ , alors

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{x} = y

$e^{x} = y$

Étape 3.4

Réécrivez l’équation comme

y = e^{x}

$y = e^{x}$ .

y = e^{x}

$y = e^{x}$

y = e^{x}

$y = e^{x}$

Étape 4

Remplacez

y

$y$ par

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

Étape 5

Vérifiez si

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ est l’inverse de

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez

f^{- 1} (\ln (x))

$f^{- 1} (\ln (x))$ en remplaçant la valeur de

f

$f$ par

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Étape 5.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

f^{- 1} (\ln (x)) = x

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

f^{- 1} (\ln (x)) = x

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez

f (e^{x})

$f (e^{x})$ en remplaçant la valeur de

f^{- 1}

$f^{- 1}$ par

f

$f$ .

f (e^{x}) = \ln (e^{x})

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Étape 5.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer

x

$x$ de l’exposant.

f (e^{x}) = x \ln (e)

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

Étape 5.3.4

Le logarithme naturel de

e

$e$ est

1

$1$ .

f (e^{x}) = x \cdot 1

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

Étape 5.3.5

Multipliez

x

$x$ par

1

$1$ .

f (e^{x}) = x

$f (e^{x}) = x$

f (e^{x}) = x

$f (e^{x}) = x$

Étape 5.4

Comme

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ et

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ,

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$ est l’inverse de

f (x) = \ln (x)

$f (x) = \ln (x)$ .

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

f^{- 1} (x) = e^{x}

$f^{- 1} (x) = e^{x}$