Algèbre Exemples

y = (x + 2) (x - 3)

$y = (x + 2) (x - 3)$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1.1

Développez

$(x + 2) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

Étape 1.1.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

Étape 1.1.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Étape 1.1.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.2.1.1

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Étape 1.1.1.1.2.1.2

Déplacez

$- 3$ à gauche de

$x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

Étape 1.1.1.1.2.1.3

Multipliez

$2$ par

$- 3$ .

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

Étape 1.1.1.1.2.2

Additionnez

$- 3 x$ et

$2 x$ .

$x^{2} - x - 6$

Étape 1.1.1.2

Utilisez la forme

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$b$ et

$c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = - 6$

Étape 1.1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de

$d$ en utilisant la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ dans la formule

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun à

$- 1$ et

$1$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Réécrivez

$- 1$ comme

$- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 1.1.1.5

Déterminez la valeur de

$e$ en utilisant la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Remplacez les valeurs de

$c$ ,

$b$ et

$a$ dans la formule

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Pour écrire

$- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.3

Associez

$- 6$ et

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.2.5.1

Multipliez

$- 6$ par

$4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.5.2

Soustrayez

$1$ de

$- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Étape 1.1.1.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.1.6

Remplacez les valeurs de

$a$ ,

$d$ et

$e$ dans la forme du sommet

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 1.1.2

Définissez

$y$ égal au nouveau côté droit.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

$a$ ,

$h$ et

$k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Étape 1.3

Comme la valeur de

$a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet

$(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Étape 1.5

Déterminez

$p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de

$a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de

$1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

$p$ à la coordonnée y

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

$p$ de la coordonnée y

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de

$p$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{13}{2}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foyer :

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Axe de symétrie :

$x = \frac{1}{2}$

Directrice :

$y = - \frac{13}{2}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foyer :

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Axe de symétrie :

$x = \frac{1}{2}$

Directrice :

$y = - \frac{13}{2}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs

$x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs

$y$ correspondantes. Les valeurs

$x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Additionnez

$- 1$ et

$2$ .

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

Étape 2.2.2

Multipliez

$(- 1) - 3$ par

$1$ .

$f (- 1) = (- 1) - 3$

Étape 2.2.3

Soustrayez

$3$ de

$- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Étape 2.2.4

La réponse finale est

$- 4$ .

$- 4$

Étape 2.3

La valeur

$y$ sur

$x = - 1$ est

$- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.4

Remplacez la variable

$x$ par

$- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Additionnez

$- 2$ et

$2$ .

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

Étape 2.5.2

Soustrayez

$3$ de

$- 2$ .

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

Étape 2.5.3

Multipliez

$0$ par

$- 5$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 2.5.4

La réponse finale est

$0$ .

$0$

Étape 2.6

La valeur

$y$ sur

$x = - 2$ est

$0$ .

$y = 0$

Étape 2.7

Remplacez la variable

$x$ par

$1$ dans l’expression.

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

Étape 2.8.2

Soustrayez

$3$ de

$1$ .

$f (1) = 3 \cdot - 2$

Étape 2.8.3

Multipliez

$3$ par

$- 2$ .

$f (1) = - 6$

Étape 2.8.4

La réponse finale est

$- 6$ .

$- 6$

Étape 2.9

La valeur

$y$ sur

$x = 1$ est

$- 6$ .

$y = - 6$

Étape 2.10

Remplacez la variable

$x$ par

$2$ dans l’expression.

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Additionnez

$2$ et

$2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

Étape 2.11.2

Soustrayez

$3$ de

$2$ .

$f (2) = 4 \cdot - 1$

Étape 2.11.3

Multipliez

$4$ par

$- 1$ .

$f (2) = - 4$

Étape 2.11.4

La réponse finale est

$- 4$ .

$- 4$

Étape 2.12

La valeur

$y$ sur

$x = 2$ est

$- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foyer :

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Axe de symétrie :

$x = \frac{1}{2}$

Directrice :

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Étape 4