Algèbre Exemples

$f (x) = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 3$

$h = 2$

$k = 1$

Étape 1.2

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Étape 1.4

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.4.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.4.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 1.4.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{12}$

Étape 1.5

Déterminez le foyer.

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Étape 1.5.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(2, \frac{13}{12})$

Étape 1.6

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 2$

Étape 1.7

Déterminez la directrice.

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Étape 1.7.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.7.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{11}{12}$

Étape 1.8

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, 1)$

Foyer : $(2, \frac{13}{12})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = \frac{11}{12}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, 1)$

Foyer : $(2, \frac{13}{12})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = \frac{11}{12}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 13$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 13$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 12 \cdot 1 + 13$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 12 + 13$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $12$ de $3$ .

$f (1) = - 9 + 13$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 9$ et $13$ .

$f (1) = 4$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $4$ .

$y = 4$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 13$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 13$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 13$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $0$ et $13$ .

$f (0) = 13$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $13$ .

$13$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $13$ .

$y = 13$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 13$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 2.8.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 + 13$

Étape 2.8.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 12 \cdot 3 + 13$

Étape 2.8.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 12 \cdot 3 + 13$

Étape 2.8.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = 27 - 12 \cdot 3 + 13$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $- 12$ par $3$ .

$f (3) = 27 - 36 + 13$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $36$ de $27$ .

$f (3) = - 9 + 13$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $- 9$ et $13$ .

$f (3) = 4$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $4$ .

$y = 4$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 13$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 13$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 13$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$f (4) = 48 - 48 + 13$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Soustrayez $48$ de $48$ .

$f (4) = 0 + 13$

Étape 2.11.2.2

Additionnez $0$ et $13$ .

$f (4) = 13$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $13$ .

$13$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $13$ .

$y = 13$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 13 \\ 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 4 & 13 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(2, 1)$

Foyer : $(2, \frac{13}{12})$

Axe de symétrie : $x = 2$

Directrice : $y = \frac{11}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 13 \\ 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 4 & 13 \end{array}$

Étape 4