Algèbre Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (5 \cdot 9 - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$9$ .

$1 (45 - 8 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- 8$ par

$6$ .

$1 (45 - 48) - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$48$ de

$45$ .

$1 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 3 - 2 (4 \cdot 9 - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$9$ .

$1 \cdot - 3 - 2 (36 - 7 \cdot 6) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

$- 7$ par

$6$ .

$1 \cdot - 3 - 2 (36 - 42) + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 3.2.2

Soustrayez

$42$ de

$36$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 6 + 3 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 6 + 3 (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$8$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 6 + 3 (32 - 7 \cdot 5)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$- 7$ par

$5$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 6 + 3 (32 - 35)$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$35$ de

$32$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 6 + 3 \cdot - 3$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$- 3 - 2 \cdot - 6 + 3 \cdot - 3$

Étape 5.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$- 6$ .

$- 3 + 12 + 3 \cdot - 3$

Étape 5.1.3

Multipliez

$3$ par

$- 3$ .

$- 3 + 12 - 9$

Étape 5.2

Additionnez

$- 3$ et

$12$ .

$9 - 9$

Étape 5.3

Soustrayez

$9$ de

$9$ .

$0$