Algèbre Exemples

$\sqrt[5]{x^{2} + 2 x} = - 1$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt[5]{x^{2} + 2 x} + 1 = 0$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\sqrt[5]{x \cdot x + 2 x} + 1 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\sqrt[5]{x \cdot x + x \cdot 2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\sqrt[5]{x (x + 2)} + 1 = 0$

Étape 3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[5]{x (x + 2)} = - 1$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{x (x + 2)}}^{5} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x (x + 2)}$ comme ${(x (x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(x (x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${({(x (x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x (x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x (x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x (x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x (x + 2))}^{1} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x \cdot x + x \cdot 2)}^{1} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(x^{2} + x \cdot 2)}^{1} = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.2.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 x = {(- 1)}^{5}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$x^{2} + 2 x = - 1$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 6.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} + 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 6.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 6.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 6.3

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$