Algèbre Exemples

$16 x^{4} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Étape 1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Étape 2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ et dont la somme est $b = - 41$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $- 41$ à partir de $- 41 u$ .

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 41$ comme $- 16$ plus $- 25$

$16 u^{2} + (- 16 - 25) u + 25 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 u^{2} - 16 u - 25 u + 25 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(16 u^{2} - 16 u) - 25 u + 25 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$16 u (u - 1) - 25 (u - 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$(u - 1) (16 u - 25) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (16 x^{2} - 25) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Étape 7

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 25) = 0$

Étape 8

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 9

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 x$ et $b = 5$ .

$(x + 1) (x - 1) ((4 x + 5) (4 x - 5)) = 0$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Étape 11

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 12

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 13

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Définissez $4 x + 5$ égal à $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $4 x + 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 5$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 14

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Définissez $4 x - 5$ égal à $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Étape 14.2

Résolvez $4 x - 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 5$

Étape 14.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$