Algèbre Exemples

$z^{4} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Étape 1

Réécrivez $z^{4}$ comme ${(z^{2})}^{2}$ .

${(z^{2})}^{2} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Étape 2

Laissez $u = z^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $z^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} - 13 u + 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $36$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 9, - 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z^{2}$ .

$(z^{2} - 9) (z^{2} - 4) = 0$

Étape 5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(z^{2} - 3^{2}) (z^{2} - 4) = 0$

Étape 6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 3$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 4) = 0$

Étape 7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 8

Factorisez.

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Étape 8.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 2$ .

$(z + 3) (z - 3) ((z + 2) (z - 2)) = 0$

Étape 8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$z + 3 = 0$

$z - 3 = 0$

$z + 2 = 0$

$z - 2 = 0$

Étape 10

Définissez $z + 3$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 10.1

Définissez $z + 3$ égal à $0$ .

$z + 3 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 3$

Étape 11

Définissez $z - 3$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 11.1

Définissez $z - 3$ égal à $0$ .

$z - 3 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 3$

Étape 12

Définissez $z + 2$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 12.1

Définissez $z + 2$ égal à $0$ .

$z + 2 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$z = - 2$

Étape 13

Définissez $z - 2$ égal à $0$ et résolvez $z$ .

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Étape 13.1

Définissez $z - 2$ égal à $0$ .

$z - 2 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$z = 2$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$ vraie.

$z = - 3, 3, - 2, 2$