Algèbre Exemples

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 = \frac{2 x}{x - 4}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2 x}{x - 4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{64}{x^{2} - 16} + 1 - \frac{2 x}{x - 4}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{64}{x^{2} - 4^{2}} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} + 1 - \frac{2 x}{x - 4} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{2 x}{x - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + 1 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2 x}{x - 4}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{64}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $64 - 2 x (x + 4)$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$\frac{2 (32) - 2 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x (x + 4)$ .

$\frac{2 (32) + 2 (- x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (32) + 2 (- x (x + 4))$ .

$\frac{2 (32 - x (x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (32 - x \cdot x - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (32 - (x \cdot x) - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (32 - x^{2} - x \cdot 4)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (32 - x^{2} - 4 x)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- x^{2} - 4 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.5.1.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 2.5.1.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 4 (x) + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.6.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $4$ plus $- 8$

$\frac{2 (- x^{2} + (4 - 8) x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.5.1.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((- x^{2} + 4 x) - 8 x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (x (- x + 4) + 8 (- x + 4))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.1.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 4$ .

$\frac{2 ((- x + 4) (x + 8))}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

$\frac{2 (- x + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun à $- x + 4$ et $x - 4$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2.2

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2.4

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (x - 4)) (x + 8)}{(x + 4) (x - 4)} + 1 = 0$

Étape 2.5.2.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1) (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Étape 2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + 1 = 0$

Étape 2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{2 (x + 8)}{x + 4} + \frac{x + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (x + 8) + x + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 8 + x + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{- 2 x - 16 + x + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.8.3

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$\frac{- x - 16 + 4}{x + 4} = 0$

Étape 2.8.4

Additionnez $- 16$ et $4$ .

$\frac{- x - 12}{x + 4} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 12}{x + 4} = 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\frac{- (x) - 1 (12)}{x + 4} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (12)$ .

$\frac{- (x + 12)}{x + 4} = 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- (x + 12)$ comme $- 1 (x + 12)$ .

$\frac{- 1 (x + 12)}{x + 4} = 0$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 12}{x + 4} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 12 = 0$

Étape 4

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 12$