Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} = 5$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x + 3}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{x - 2}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x + 3}{x - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x - 2}{x}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.3

Développez $(x - 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + x (x - 1) - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.8

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2$ .

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Étape 2.5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.5.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 5$ et $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} + \frac{- 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6

Soustrayez $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.9.8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.9.8.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 5 (x) + 2}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 6) x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.9.8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 2 (- 3 x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- (3 x + 1)$ comme $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 4.2

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 4.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 2$