Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{1}{x^{2} - 12 x + 36}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 6^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 12 x + 36}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{1}{x^{2} - 12 x + 36}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{1}{x^{2} - 12 x + 6^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 6$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(x + 6) (x - 6)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 6) {(x - 6)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 6) (x - 6)}$ par $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{x (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x - 6)} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Étape 4.2

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 6)}{(x + 6) ({(x - 6)}^{1} (x - 6))} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Étape 4.3

Élevez $x - 6$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x - 6)}{(x + 6) ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ par $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{x (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}} - \frac{x + 6}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $(x + 6) {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{x (x - 6)}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)} - \frac{x + 6}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 6) - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 6.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 \cdot x - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - x - 6}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$

Étape 6.6

Soustrayez $x$ de $- 6 x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x - 6}{{(x - 6)}^{2} (x + 6)}$