Algèbre Exemples

$x^{2} + y^{3} - x^{2} y^{2} = 64$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$x^{2} + {(0)}^{3} - x^{2} {(0)}^{2} = 64$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Simplifiez $x^{2} + {(0)}^{3} - x^{2} {(0)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + 0 - x^{2} {(0)}^{2} = 64$

Étape 1.2.1.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + 0 - x^{2} \cdot 0 = 64$

Étape 1.2.1.1.3

Multipliez $- x^{2} \cdot 0$ .

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Étape 1.2.1.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$x^{2} + 0 + 0 x^{2} = 64$

Étape 1.2.1.1.3.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$x^{2} + 0 + 0 = 64$

Étape 1.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 0 + 0$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} + 0 = 64$

Étape 1.2.1.2.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} = 64$

Étape 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{64}$ .

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(8, 0), (- 8, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

${(0)}^{2} + y^{3} - {(0)}^{2} y^{2} = 64$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(0)}^{2} + y^{3} - {(0)}^{2} y^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + y^{3} - {(0)}^{2} y^{2} = 64$

Étape 2.2.1.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + y^{3} - 0 y^{2} = 64$

Étape 2.2.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + y^{3} + 0 y^{2} = 64$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $0$ par $y^{2}$ .

$0 + y^{3} + 0 = 64$

Étape 2.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + y^{3} + 0$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $y^{3}$ .

$y^{3} + 0 = 64$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$y^{3} = 64$

Étape 2.2.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - 64 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$y^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 2.2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 4$ .

$(y - 4) (y^{2} + y \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$(y - 4) (y^{2} + 4 y + 4^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(y - 4) (y^{2} + 4 y + 16) = 0$

Étape 2.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 4 = 0$

$y^{2} + 4 y + 16 = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $y - 4$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $y - 4$ égal à $0$ .

$y - 4 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4$

Étape 2.2.6

Définissez $y^{2} + 4 y + 16$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $y^{2} + 4 y + 16$ égal à $0$ .

$y^{2} + 4 y + 16 = 0$

Étape 2.2.6.2

Résolvez $y^{2} + 4 y + 16 = 0$ pour $y$ .

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Étape 2.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.2.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.6.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.2.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.2.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.2.6.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.2.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 4) (y^{2} + 4 y + 16) = 0$ vraie.

$y = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(8, 0), (- 8, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 4