Algèbre Exemples

$\frac{6 + 2 i}{9 - 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6 + 2 i}{9 - 3 i}$ par le conjugué de $9 - 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6 + 2 i}{9 - 3 i} \cdot \frac{9 + 3 i}{9 + 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(6 + 2 i) (9 + 3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(6 + 2 i) (9 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (9 + 3 i) + 2 i (9 + 3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 9 + 6 (3 i) + 2 i (9 + 3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 9 + 6 (3 i) + 2 i \cdot 9 + 2 i (3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{54 + 6 (3 i) + 2 i \cdot 9 + 2 i (3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{54 + 18 i + 2 i \cdot 9 + 2 i (3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 2 i (3 i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $2 i (3 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 6 i i}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 6 (i^{1} i)}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 6 (i^{1} i^{1})}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 6 i^{1 + 1}}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 6 i^{2}}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i + 6 \cdot - 1}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{54 + 18 i + 18 i - 6}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $6$ de $54$ .

$\frac{48 + 18 i + 18 i}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $18 i$ et $18 i$ .

$\frac{48 + 36 i}{(9 - 3 i) (9 + 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(9 - 3 i) (9 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{48 + 36 i}{9 (9 + 3 i) - 3 i (9 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{48 + 36 i}{9 \cdot 9 + 9 (3 i) - 3 i (9 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{48 + 36 i}{9 \cdot 9 + 9 (3 i) - 3 i \cdot 9 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 9 (3 i) - 3 i \cdot 9 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 3 i \cdot 9 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 27 i - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 27 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 27 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 27 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 27 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 27 i - 27 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $27 i$ de $27 i$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $81$ et $0$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{48 + 36 i}{81 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $81$ et $9$ .

$\frac{48 + 36 i}{90}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $48 + 36 i$ et $90$ .

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $48$ .

$\frac{6 (8) + 36 i}{90}$

Étape 3.2

Factorisez $6$ à partir de $36 i$ .

$\frac{6 (8) + 6 (6 i)}{90}$

Étape 3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (8) + 6 (6 i)$ .

$\frac{6 (8 + 6 i)}{90}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $90$ .

$\frac{6 (8 + 6 i)}{6 \cdot 15}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (8 + 6 i)}{6 \cdot 15}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 + 6 i}{15}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{8 + 6 i}{15}$ en deux fractions.

$\frac{8}{15} + \frac{6 i}{15}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $6$ et $15$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $6 i$ .

$\frac{8}{15} + \frac{3 (2 i)}{15}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{8}{15} + \frac{3 (2 i)}{3 (5)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{15} + \frac{3 (2 i)}{3 \cdot 5}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{15} + \frac{2 i}{5}$