Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{5}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{1}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5}$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x + 4) \cdot 5}{(x + 4) \cdot 5}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 4) \cdot 5}{(x + 4) \cdot 5} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5} = 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{(x + 4) \cdot 5}{(x + 4) \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{5} = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{x + 4}$ par $\frac{x \cdot 5}{x \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x \cdot 5}{x \cdot 5} - \frac{1}{5} = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $\frac{1}{x + 4}$ par $\frac{x \cdot 5}{x \cdot 5}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - \frac{1}{5} = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}) = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{x ((x + 4) \cdot 5)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - \frac{x (x + 4)}{5 (x (x + 4))} = 0$

Étape 2.1.7

Réorganisez les facteurs de $x ((x + 4) \cdot 5)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{5 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 5}{(x + 4) (x \cdot 5)} - \frac{x (x + 4)}{5 (x (x + 4))} = 0$

Étape 2.1.8

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x \cdot 5)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{5 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 5}{5 x (x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{5 (x (x + 4))} = 0$

Étape 2.1.9

Réorganisez les facteurs de $5 (x (x + 4))$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 5}{5 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 5}{5 x (x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 4) \cdot 5 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 5 + 4 \cdot 5 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{5 \cdot x + 4 \cdot 5 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{5 \cdot x + 20 + x \cdot 5 - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.4

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 \cdot x - x (x + 4)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x + 20 + 5 x - x \cdot x - x \cdot 4}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 x - (x \cdot x) - x \cdot 4}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 x - x^{2} - x \cdot 4}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.3.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{5 x + 20 + 5 x - x^{2} - 4 x}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.4

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$\frac{10 x + 20 - x^{2} - 4 x}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $4 x$ de $10 x$ .

$\frac{6 x + 20 - x^{2}}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + 6 x + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 6 x + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 6 x) + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 x) + 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.10

Réécrivez $20$ comme $- 1 (- 20)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 x) - 1 (- 20)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- 20)$ .

$\frac{- (x^{2} - 6 x - 20)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.12

Réécrivez $- (x^{2} - 6 x - 20)$ comme $- 1 (x^{2} - 6 x - 20)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 6 x - 20)}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 6 x - 20}{5 x (x + 4)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{2} - 6 x - 20 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $36$ et $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $116$ comme $2^{2} \cdot 29$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $116$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{29}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Additionnez $36$ et $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $116$ comme $2^{2} \cdot 29$ .

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Étape 4.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $116$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{29}$

Étape 4.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + \sqrt{29}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $36$ et $80$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $116$ comme $2^{2} \cdot 29$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $116$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{29}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{29}$

Étape 4.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - \sqrt{29}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{29}, 3 - \sqrt{29}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 3 + \sqrt{29}, 3 - \sqrt{29}$

Forme décimale :

$x = 8.38516480 \dots, - 2.38516480 \dots$