Algèbre Exemples

$\frac{y + 7}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2} - 7 y + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 5, - 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 5^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 5$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ par $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(y + 5) (y - 5) (y - 2)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(y + 7) (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(y + 7) (y + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y (y + 5) + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $y$ .

$\frac{y^{2} + 5 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $7$ par $5$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 7 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $5 y$ et $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y - 7 \cdot - 2}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.5

Soustrayez $7 y$ de $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 35 + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Étape 6.6

Additionnez $35$ et $14$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 49}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$