Algèbre Exemples

$y = {(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2}$

Étape 1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$y = {(x + 3)}^{2} + (x + 4) (x + 4)$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = {(x + 3)}^{2} + x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = {(x + 3)}^{2} + x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = {(x + 3)}^{2} + x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = {(x + 3)}^{2} + x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = {(x + 3)}^{2} + x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = {(x + 3)}^{2} + x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$y = {(x + 3)}^{2} + x^{2} + 8 x + 16$

Étape 1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = x^{2} + {(x + 3)}^{2} + 8 x + 16$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + {(x + 3)}^{2} + 8 x + 16$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$x^{2} + (x + 3) (x + 3) + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x (x + 3) + 3 (x + 3) + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} + x^{2} + 3 x + 3 x + 9 + 8 x + 16$

Étape 2.1.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + x^{2} + 6 x + 9 + 8 x + 16$

Étape 2.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 6 x + 9 + 8 x + 16$

Étape 2.1.3

Additionnez $6 x$ et $8 x$ .

$2 x^{2} + 14 x + 9 + 16$

Étape 2.1.4

Additionnez $9$ et $16$ .

$2 x^{2} + 14 x + 25$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 14$

$c = 25$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{14}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 (2)}$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{2}$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 25 - \frac{14^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$e = 25 - \frac{196}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = 25 - \frac{196}{8}$

Étape 2.5.2.1.3

Annulez le facteur commun à $196$ et $8$ .

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Étape 2.5.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$e = 25 - \frac{4 (49)}{8}$

Étape 2.5.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$e = 25 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 25 - \frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 25 - \frac{49}{2}$

Étape 2.5.2.2

Pour écrire $25$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e = 25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{49}{2}$

Étape 2.5.2.3

Associez $25$ et $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{49}{2}$

Étape 2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{25 \cdot 2 - 49}{2}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1

Multipliez $25$ par $2$ .

$e = \frac{50 - 49}{2}$

Étape 2.5.2.5.2

Soustrayez $49$ de $50$ .

$e = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x + \frac{7}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$ .

$2 {(x + \frac{7}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 2 {(x + \frac{7}{2})}^{2} + \frac{1}{2}$