Algèbre Exemples

$x^{- 2} - x^{- 1} - 6 = 0$

Étape 1

Factorisez $x^{- 2} - x^{- 1} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x^{- 1} - 3) (x^{- 1} + 2) = 0$

Étape 2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 3) (x^{- 1} + 2) = 0$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{1}{x} - 3) (\frac{1}{x} + 2) = 0$

Étape 4

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 3 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} + 2) = 0$

Étape 5

Associez $- 3$ et $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 3 x}{x}) (\frac{1}{x} + 2) = 0$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + 2) = 0$

Étape 7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 3 x}{x} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{2 x}{x}) = 0$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3 x}{x} \cdot \frac{1 + 2 x}{x} = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\frac{1 - 3 x}{x} = 0$

$\frac{1 + 2 x}{x} = 0$

Étape 10

Définissez $\frac{1 - 3 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $\frac{1 - 3 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 - 3 x}{x} = 0$

Étape 10.2

Résolvez $\frac{1 - 3 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - 3 x = 0$

Étape 10.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 1$

Étape 10.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 10.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 10.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 10.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 10.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 11

Définissez $\frac{1 + 2 x}{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $\frac{1 + 2 x}{x}$ égal à $0$ .

$\frac{1 + 2 x}{x} = 0$

Étape 11.2

Résolvez $\frac{1 + 2 x}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + 2 x = 0$

Étape 11.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 11.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\frac{1 - 3 x}{x} \cdot \frac{1 + 2 x}{x} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1}{2}$