Algèbre Exemples

$2^{2 x} + 2^{x} - 12 = 0$

Étape 1

Réécrivez $2^{2 x}$ comme ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} - 12 = 0$

Étape 2

Laissez $u = 2^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 12 = 0$

Étape 3

Factorisez $u^{2} + u - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{x}$ .

$(2^{x} - 3) (2^{x} + 4) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2^{x} - 3 = 0$

$2^{x} + 4 = 0$

Étape 6

Définissez $2^{x} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $2^{x} - 3$ égal à $0$ .

$2^{x} - 3 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2^{x} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2^{x} = 3$

Étape 6.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (3)$

Étape 6.2.3

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) = \ln (3)$

Étape 6.2.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (3)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 6.2.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (2) = \ln (3)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 6.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 6.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$

Étape 7

Définissez $2^{x} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2^{x} + 4$ égal à $0$ .

$2^{x} + 4 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2^{x} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2^{x} = - 4$

Étape 7.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 4)$

Étape 7.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 4)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.2.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = - 4$

Aucune solution

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2^{x} - 3) (2^{x} + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (2)}$