Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x - 2)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 2)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 3) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 1) (x + 2)}{x + 1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 1)}{x + 1}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{x - 2}{x - 2}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$1$