Algèbre Exemples

${(2 x + 3 y)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{3 - k} \cdot {(3 y)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{3 - 0} \cdot {(3 y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{3 - 1} \cdot {(3 y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{3 - 2} \cdot {(3 y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{3 - 3} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(2 x)}^{3}$ par $1$ .

${(2 x)}^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2^{3} x^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} \cdot {(3 y)}^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$8 x^{3} \cdot (3^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \cdot 3^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.9

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.10

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.11

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot {(3 y)}^{1} + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.13

Simplifiez

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot (3 y) + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} + 12 \cdot 3 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.15

Multipliez $12$ par $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 3 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.16

Simplifiez

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 3 \cdot (2 x) \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.17

Multipliez $2$ par $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 x \cdot {(3 y)}^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 x \cdot (3^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 \cdot 3^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.20

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.21

Multipliez $6$ par $9$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.22

Multipliez ${(2 x)}^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.24

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.25

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.26

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 \cdot {(3 y)}^{3}$

Étape 4.27

Multipliez ${(3 y)}^{3}$ par $1$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(3 y)}^{3}$

Étape 4.28

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 3^{3} y^{3}$

Étape 4.29

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$