Algèbre Exemples

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{12}{x^{2} - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

Étape 1.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{3 x}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{3 x}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x (x - 1) - 12$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x (x - 1)$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.5.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.7

Associez $- 2$ et $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2

Simplifiez

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Étape 2.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.2.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5

Développez $(- 2 x - 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.6.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.8

Additionnez $- 12$ et $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 2.9.9

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.9.9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 2.9.9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Étape 3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 5, - 2$