Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} - \sqrt{z}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} - \sqrt{z}}$ par $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} + \sqrt{z}}$ .

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} - \sqrt{z}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} + \sqrt{z}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} - \sqrt{z}}$ par $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{\sqrt{x} + \sqrt{z}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{(\sqrt{x} - \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x z} - \sqrt{x z} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x^{1} - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - {\sqrt{z}}^{2}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez ${\sqrt{z}}^{2}$ comme $z$ .

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Étape 2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z^{1}}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{x} + \sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{x} + \sqrt{z})}^{1} (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{x} + \sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{x} + \sqrt{z})}^{1} {(\sqrt{x} + \sqrt{z})}^{1}}{x - z}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{x} + \sqrt{z})}^{1 + 1}}{x - z}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{x} + \sqrt{z})}^{2}}{x - z}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{x} + \sqrt{z})}^{2}$ comme $(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})$ .

$\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{x} + \sqrt{z}) (\sqrt{x} + \sqrt{z})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + \sqrt{z}) + \sqrt{z} (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} (\sqrt{x} + \sqrt{z})}{x - z}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 6.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{1} + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.2.5

Simplifiez

$\frac{x + \sqrt{x} \sqrt{z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z} \sqrt{x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + \sqrt{z} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\sqrt{z} \sqrt{z}$ .

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Étape 6.1.5.1

Élevez $\sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + {\sqrt{z}}^{1} \sqrt{z}}{x - z}$

Étape 6.1.5.2

Élevez $\sqrt{z}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + {\sqrt{z}}^{1} {\sqrt{z}}^{1}}{x - z}$

Étape 6.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + {\sqrt{z}}^{1 + 1}}{x - z}$

Étape 6.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + {\sqrt{z}}^{2}}{x - z}$

Étape 6.1.6

Réécrivez ${\sqrt{z}}^{2}$ comme $z$ .

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Étape 6.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{z}$ comme $z^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + {(z^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x - z}$

Étape 6.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + z^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x - z}$

Étape 6.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + z^{\frac{2}{2}}}{x - z}$

Étape 6.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + z^{\frac{2}{2}}}{x - z}$

Étape 6.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + z^{1}}{x - z}$

Étape 6.1.6.5

Simplifiez

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{z x} + z}{x - z}$

Étape 6.2

Additionnez $\sqrt{x z}$ et $\sqrt{z x}$ .

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Étape 6.2.1

Remettez dans l’ordre $z$ et $x$ .

$\frac{x + \sqrt{x z} + \sqrt{x z} + z}{x - z}$

Étape 6.2.2

Additionnez $\sqrt{x z}$ et $\sqrt{x z}$ .

$\frac{x + 2 \sqrt{x z} + z}{x - z}$