Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} - 16} - \frac{8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 4^{2}} - \frac{8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 4) (x - 4) (x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x - 4) (x + 1)} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$ par $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x - 4) (x + 1)} - \frac{8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 4) (x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)} - \frac{8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + x - 8 x - 8 \cdot - 4}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$\frac{x^{2} + x - 8 x + 32}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Étape 6.6

Soustrayez $8 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 32}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$