Algèbre Exemples

$\log_{x} (16) = - 4$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (16) = - 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{- 4} = 16$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} = 16$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{4}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{4}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{4}} = 16$ par $x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{4}} = 16$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} x^{4} = 16 x^{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{4}} x^{4} = 16 x^{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 16 x^{4}$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $16 x^{4} = 1$ .

$16 x^{4} = 1$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $16 x^{4} = 1$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{4} = 1$ par $16$ .

$\frac{16 x^{4}}{16} = \frac{1}{16}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{4}}{16} = \frac{1}{16}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{16}$

Étape 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ .

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{16}}$

Étape 2.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{16}}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.4.3.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$

Étape 2.4.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{x} (16) = - 4$ vrai.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.5$