Algèbre Exemples

$25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Étape 1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

${(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Étape 2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Étape 3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}$

Étape 4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}$

Étape 5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 x + x^{2} = 4 \cdot 2$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x + x^{2} = 8$

Étape 6.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$2 x + x^{2} - 8 = 0$

Étape 6.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $2 u + u^{2} - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 6.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Étape 6.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 6.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 6.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 6.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$