Algèbre Exemples

25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}

$25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Étape 1

Réécrivez

25

$25$ comme

5^{2}

$5^{2}$ .

{(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}

${(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Étape 2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}

$5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Étape 3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}

$5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}$

Étape 4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}

$5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}$

Étape 5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

2 x + x^{2} = 4 \cdot 2

$2 x + x^{2} = 4 \cdot 2$

Étape 6

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.1

Multipliez

4

$4$ par

2

$2$ .

2 x + x^{2} = 8

$2 x + x^{2} = 8$

Étape 6.2

Soustrayez

8

$8$ des deux côtés de l’équation.

2 x + x^{2} - 8 = 0

$2 x + x^{2} - 8 = 0$

Étape 6.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1

Laissez

u = x

$u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de

x

$x$ par

u

$u$ .

2 u + u^{2} - 8 = 0

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez

2 u + u^{2} - 8

$2 u + u^{2} - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.3.2.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

- 8

$- 8$ et dont la somme est

2

$2$ .

- 2, 4

$- 2, 4$

Étape 6.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

(u - 2) (u + 4) = 0

$(u - 2) (u + 4) = 0$

(u - 2) (u + 4) = 0

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Étape 6.3.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

x

$x$ .

(x - 2) (x + 4) = 0

$(x - 2) (x + 4) = 0$

(x - 2) (x + 4) = 0

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 6.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

x + 4 = 0

$x + 4 = 0$

Étape 6.5

Définissez

x - 2

$x - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez

x - 2

$x - 2$ égal à

0

$0$ .

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

x = 2

$x = 2$

x = 2

$x = 2$

Étape 6.6

Définissez

x + 4

$x + 4$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.6.1

Définissez

x + 4

$x + 4$ égal à

0

$0$ .

x + 4 = 0

$x + 4 = 0$

Étape 6.6.2

Soustrayez

4

$4$ des deux côtés de l’équation.

x = - 4

$x = - 4$

x = - 4

$x = - 4$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(x - 2) (x + 4) = 0

$(x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

x = 2, - 4

$x = 2, - 4$

x = 2, - 4

$x = 2, - 4$