Algèbre Exemples

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Étape 2.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Étape 3

Réécrivez $\frac{\sqrt{5}}{5}$ comme $\sqrt{5} \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$

Étape 4

Réécrivez $\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$ comme $\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$

Étape 5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{5} (\sqrt{5}) - \log_{5} (5)$

Étape 6

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1 \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1$

Étape 8

Réécrivez $\log_{5} (\sqrt{5})$ en utilisant la formule du changement de base.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Forme décimale :

$- 0.5$