Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 1}{x - 5} \leq 3$

Étape 1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x + 1}{x - 5} - 3 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2 x + 1}{x - 5} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 1}{x - 5} - 3 \cdot \frac{x - 5}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.2

Associez $- 3$ et $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{2 x + 1}{x - 5} + \frac{- 3 (x - 5)}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x + 1 - 3 (x - 5)}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 1 - 3 x - 3 \cdot - 5}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$\frac{2 x + 1 - 3 x + 15}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x + 1 + 15}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.4.4

Additionnez $1$ et $15$ .

$\frac{- x + 16}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 16}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.6

Réécrivez $16$ comme $- 1 (- 16)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 16)}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 16)$ .

$\frac{- (x - 16)}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (x - 16)$ comme $- 1 (x - 16)$ .

$\frac{- 1 (x - 16)}{x - 5} \leq 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 16}{x - 5} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 16 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 4

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 16$

Étape 5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 16$

$x = 5$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 16, 5$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{x - 16}{x - 5}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 16}{x - 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 5 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 5$

$5 < x < 16$

$x > 16$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0) + 1}{(0) - 5} \leq 3$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 0.2$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $5 < x < 16$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $5 < x < 16$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (8) + 1}{(8) - 5} \leq 3$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $5.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 16$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 16$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 18$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $18$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (18) + 1}{(18) - 5} \leq 3$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $2.\overline{846153}$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 5$ Vrai

$5 < x < 16$ Faux

$x > 16$ Vrai

$x < 5$ Vrai

$5 < x < 16$ Faux

$x > 16$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 5$ ou $x \geq 16$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, 5) \cup [16, \infty)$

Étape 13