Algèbre Exemples

$3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 24$

Étape 1

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 24 = 0$

Étape 2

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 24$ .

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ .

$3 ({(x - 2)}^{\frac{3}{4}}) - 24 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 3 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 3 \cdot - 8$ .

$3 ({(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8) = 0$

Étape 3

Réécrivez ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ comme ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

$3 ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 8) = 0$

Étape 4

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$3 ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ et $b = 2$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 2^{2})) = 0$

Étape 6.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) ({(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + 4)) = 0$

Étape 6.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 (({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)) = 0$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ par $1$ .

$({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4) = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.2

Développez $({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2) (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4}} (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.3.1.2.1

Déplacez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 ({(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1 + 1}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{2 (1)}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 7.2.3.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.3

Multipliez ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ par ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.3.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.3.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} \cdot 4 - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.4

Déplacez $4$ à gauche de ${(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 (2 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}) - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.2

Associez les termes opposés dans $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Soustrayez $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ de $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{4}}$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} + 0 - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.2.2

Additionnez $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ et $0$ .

$2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}} - 8 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.2.3

Soustrayez $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + {(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8 = \frac{0}{3}$

Étape 7.2.3.2.4

Additionnez $0$ et ${(x - 2)}^{\frac{3}{4}}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8 = \frac{0}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} - 8 = 0$

Étape 8

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4}} = 8$

Étape 9

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{4}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10

Simplifiez l’exposant.

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Étape 10.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.1.1

Simplifiez ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x - 2)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x - 2)}^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.1.1.2

Simplifiez

$x - 2 = 8^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Simplifiez $8^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x - 2 = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Étape 10.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 2 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 10.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x - 2 = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Étape 10.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x - 2 = 2^{4}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x - 2 = 16$

Étape 11

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 16 + 2$

Étape 11.2

Additionnez $16$ et $2$ .

$x = 18$