Algèbre Exemples

$\frac{8 - 7 i}{1 - 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{8 - 7 i}{1 - 2 i}$ par le conjugué de $1 - 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{8 - 7 i}{1 - 2 i} \cdot \frac{1 + 2 i}{1 + 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(8 - 7 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(8 - 7 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (1 + 2 i) - 7 i (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (2 i) - 7 i (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (2 i) - 7 i \cdot 1 - 7 i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 + 8 (2 i) - 7 i \cdot 1 - 7 i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i \cdot 1 - 7 i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 7 i (2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 7 i (2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 14 i i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 14 (i^{1} i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 14 (i^{1} i^{1})}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 14 i^{1 + 1}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 14 i^{2}}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i - 14 \cdot - 1}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 14$ par $- 1$ .

$\frac{8 + 16 i - 7 i + 14}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $8$ et $14$ .

$\frac{22 + 16 i - 7 i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $7 i$ de $16 i$ .

$\frac{22 + 9 i}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 - 2 i) (1 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 + 9 i}{1 (1 + 2 i) - 2 i (1 + 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 + 9 i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i (1 + 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{22 + 9 i}{1 \cdot 1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 1 (2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i - 2 i (2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{22 + 9 i}{1 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{22 + 9 i}{5}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{22 + 9 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{22}{5} + \frac{9 i}{5}$