Algèbre Exemples

$\frac{6 + i}{6 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6 + i}{6 - i}$ par le conjugué de $6 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6 + i}{6 - i} \cdot \frac{6 + i}{6 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(6 + i) (6 + i)}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(6 + i) (6 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 + i) + i (6 + i)}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 i + i (6 + i)}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 i + i \cdot 6 + i i}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 + 6 i + i \cdot 6 + i i}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$\frac{36 + 6 i + 6 \cdot i + i i}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 + 6 i + 6 i + i^{1} i}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 + 6 i + 6 i + i^{1} i^{1}}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 + 6 i + 6 i + i^{1 + 1}}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{36 + 6 i + 6 i + i^{2}}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{36 + 6 i + 6 i - 1}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $36$ .

$\frac{35 + 6 i + 6 i}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $6 i$ et $6 i$ .

$\frac{35 + 12 i}{(6 - i) (6 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(6 - i) (6 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 + 12 i}{6 (6 + i) - i (6 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 + 12 i}{6 \cdot 6 + 6 i - i (6 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{35 + 12 i}{6 \cdot 6 + 6 i - i \cdot 6 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 6 i - i \cdot 6 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 6 i - 6 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 6 i - 6 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 6 i - 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{35 + 12 i}{36 + 6 i - 6 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 6 i - 6 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $6 i$ de $6 i$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $36$ et $0$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{35 + 12 i}{36 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $36$ et $1$ .

$\frac{35 + 12 i}{37}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{35 + 12 i}{37}$ en deux fractions.

$\frac{35}{37} + \frac{12 i}{37}$