Algèbre Exemples

$2 x^{3} + 54 = 0$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 54$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) + 54 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot 27 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot 27$ .

$2 (x^{3} + 27) = 0$

Étape 2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$2 (x^{3} + 3^{3}) = 0$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$2 ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2})) = 0$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)) = 0$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Étape 6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 7

Définissez $x^{2} - 3 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x^{2} - 3 x + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ vraie.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$