Algèbre Exemples

$2^{x + 1} = 5^{1 - 2 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (2^{x + 1}) = \ln (5^{1 - 2 x})$

Étape 2

Développez $\ln (2^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (2) = \ln (5^{1 - 2 x})$

Étape 3

Développez $\ln (5^{1 - 2 x})$ en déplaçant $1 - 2 x$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(x + 1) \ln (2)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x + 1) \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) + 1 \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Étape 4.1.4

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$x \ln (2) + \ln (2) = (1 - 2 x) \ln (5)$

Étape 4.2

Simplifiez $(1 - 2 x) \ln (5)$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) + \ln (2) = 1 \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Étape 4.2.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$x \ln (2) + \ln (2) = \ln (5) - 2 x \ln (5)$

Étape 4.3

Ajoutez $2 x \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + \ln (2) + 2 x \ln (5) = \ln (5)$

Étape 4.4

Soustrayez $\ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + 2 x \ln (5) = \ln (5) - \ln (2)$

Étape 4.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) + 2 x \ln (5)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + 2 x \ln (5) = \ln (5) - \ln (2)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$

Étape 4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (2 \ln (5))$ .

$x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$ par $\ln (2) + 2 \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + 2 \ln (5)) = \ln (5) - \ln (2)$ par $\ln (2) + 2 \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 2 \ln (5))}{\ln (2) + 2 \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) + 2 \ln (5)$ .

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Étape 4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) + 2 \ln (5))}{\ln (2) + 2 \ln (5)} = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Étape 4.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (2) + 2 \ln (5)} + \frac{- \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\ln (5) - \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (5) - \ln (2)}{\ln (2) + 2 \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 0.23422426 \dots$