Algèbre Exemples

$\log_{8} (x) + \log_{8} (7 x - 1) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{8} (x (7 x - 1)) = 1$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{8} (x (7 x) + x \cdot - 1) = 1$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{8} (7 x \cdot x + x \cdot - 1) = 1$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\log_{8} (7 x \cdot x - 1 \cdot x) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\log_{8} (7 (x \cdot x) - 1 \cdot x) = 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{8} (7 x^{2} - 1 \cdot x) = 1$

Étape 1.3.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\log_{8} (7 x^{2} - x) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{8} (7 x^{2} - x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$8^{1} = 7 x^{2} - x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $7 x^{2} - x = 8^{1}$ .

$7 x^{2} - x = 8$

Étape 3.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} - x - 8 = 0$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 8 = - 56$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$7 x^{2} - (x) - 8 = 0$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $7$ plus $- 8$

$7 x^{2} + (7 - 8) x - 8 = 0$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{2} + 7 x - 8 x - 8 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(7 x^{2} + 7 x) - 8 x - 8 = 0$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$7 x (x + 1) - 8 (x + 1) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x + 1) (7 x - 8) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$7 x - 8 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.6

Définissez $7 x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $7 x - 8$ égal à $0$ .

$7 x - 8 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $7 x - 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x = 8$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = 8$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = 8$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{8}{7}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{8}{7}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{7}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (7 x - 8) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{8}{7}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{8} (x) + \log_{8} (7 x - 1) = 1$ vrai.

$x = \frac{8}{7}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{8}{7}$

Forme décimale :

$x = 1.\overline{142857}$

Forme de nombre mixte :

$x = 1 \frac{1}{7}$