Algèbre Exemples

$- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$2 (- x^{3}) + 14 x^{2} - 24 x + 20$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $14 x^{2}$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) - 24 x + 20$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 24 x$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 20$

Étape 1.4

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

Étape 1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2})$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

Étape 1.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$

Étape 1.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10)$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Factorisez $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Étape 2.1.3

Remplacez $5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $5$ dans le polynôme.

$- 5^{3} + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Étape 2.1.3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $125$ .

$- 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Étape 2.1.3.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- 125 + 7 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 10$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $7$ par $25$ .

$- 125 + 175 - 12 \cdot 5 + 10$

Étape 2.1.3.6

Additionnez $- 125$ et $175$ .

$50 - 12 \cdot 5 + 10$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$50 - 60 + 10$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $60$ de $50$ .

$- 10 + 10$

Étape 2.1.3.9

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10}{x - 5}$

Étape 2.1.5

Divisez $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ par $x - 5$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$10$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + 5 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 10 x$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							-	$2 x$	+	$10$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x + 10$

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + 2 x - 2$

Étape 2.1.6

Écrivez $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ comme un ensemble de facteurs.

$2 ((x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2)$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 2 x - 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) + 2 x - 2)$

Étape 3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 2)$

Étape 3.1.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 (2))$

Étape 3.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x) - 1 (2))$

Étape 3.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x + 2))$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 5) \cdot - 1 (x^{2} - 2 x + 2)$

Étape 4

Associez les exposants.

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Étape 4.1

Factorisez le signe négatif.

$- (2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 ((x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

Étape 5

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2)$