Algèbre Exemples

$\frac{5}{1 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5}{1 + 1 i}$ par le conjugué de $1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{5}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{5 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 + 5 (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - 5 i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(1 + 1 i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 - 5 i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 - 5 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 - 5 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 - 5 i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 - 5 i}{2}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{5 - 5 i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5 i}{2}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{2} - \frac{5 i}{2}$