Algèbre Exemples

$\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Étape 1.2

Développez $(x - 5) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x (x + 2) - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - 5 x - 10) = \ln (x - 14)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2} - 3 x - 10) = \ln (x - 14)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 3 x - 10 = x - 14$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 10 - x = - 14$

Étape 3.1.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 10 = - 14$

Étape 3.2

Ajoutez $14$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 10 + 14 = 0$

Étape 3.3

Additionnez $- 10$ et $14$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.5

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$ vrai.

$Aucune solution$